منظور از زیرمدول اول از  – مدول راست  ، زیرمدولی مانند  است به طوری که  اول باشد.
مدول‌های اول و زیرمدول‌های اول مدول‌ها در سی سال اخیر به طور فراوان مورد مطالعه قرار گرفته‌اند. مطالعه مدول‌های دوم و زیرمدول‌های دوم مدول‌ها موضوع جدیدتری است. حال به مفهوم دوگان مدول اول، یعنی مدول‌ دوم می‌پردازیم.
یک  – مدول راست  ، دوم نامیده می شود هرگاه  و  برای هر زیرمدول محض  از  . توجه شود که در بعضی موارد، مدول دوم را هم‌اول نیز می‌نامند.
همچنین دوگان زیرمدول اول، یعنی زیرمدول دوم را تعریف می‌کنیم.
منظور از زیرمدول دوم یک مدول، زیرمدولی است که خود، مدول دوم باشد.
مدول‌های دوم و زیرمدول‌های دوم، اولین بار توسط دکتر یاسمی روی حلقه‌های جابجایی در منبع  در سال ۲۰۰۱ معرفی شده است.
فرض کنید  یک حلقه جابجایی و  یک  مدول غیر صفر باشد. برای هر عنصر  از حلقه  فرض کنیم  یک درون‌ریختی مدول  باشد که به صورت  تعریف می‌شود.
به سادگی می‌توان دید که  اول است اگر و تنها اگر به ازای هر  داشته باشیم  یا اینکه  یک تکریختی باشد. به عبارت دیگر  ، اول است اگر و تنها اگر برای هر  در حلقه  و به ازای هر  عضو  ، اگر داشته باشیم  آنگاه  یا  .
همچنین به سادگی می‌توان مشاهده کرد  – مدول  دوم است اگر و تنها اگر برای هر  داشته باشیم  یا  یک بروریختی باشد.
به بیان دیگر،  دوم است اگر و تنها اگر برای هر  عضو  ،  یا  .
هدف از این پایان‌نامه، مطالعه مدول‌های دوم در سایه مدول‌های اول است.
توجه داشته باشید اگر  یک حلقه و  یک  – مدول راست دوم باشد، آنگاه  یک ایده‌آل اول  است. در این حالت برای راحتی کار  را یک مدول  – دوم می خوانیم.
توجه داشته باشید که مدول‌های ساده، اول و دوم هستند. در حالت کلی تر، ما مدول  را نیم ساده همگن می نامیم، در صورتی که  برابر حاصل‌جمع مستقیم زیرمدول‌های ساده یکریخت باشد. به سادگی می‌توان دید که مدول‌های نیم ساده همگن، اول و دوم هستند.
علاوه بر آن، اگر  یک حلقه ساده باشد آنگاه هر مدول غیر صفر روی  اول و دوم است. بالعکس، هر حلقه  که خودش  – مدول راست دوم باشد، ساده است. به وضوح، هر زیرمدول غیر صفر از یک مدول اول، اول است.
همچنین هر تصویر همریخت غیر صفر از یک مدول دوم، دوم است.
در این پایان‌نامه مثال های بیشتری آورده شده است.
فصل دوم
تعاریف و قضایای پیش‌نیاز
یادآوری۲-۱: فرض کنید  – مدول راست  داده شده است. پوچ‌ساز  در  را با  نشان می‌دهیم، به عبارت دیگر  مجموعه تمام عنصرهای  در  است به طوری که  . توجه کنید که  یک ایده‌آل از حلقه  است.
یادآوری۲-۲: اگر  یک حلقه جابجایی و یکدار باشد و  یک ایده‌آل ماکسیمال آن باشد، آنگاه  میدان است.
یادآوری۲-۳: اگر  یک میدان و  یک  – مدول باشد،  را یک فضای برداری روی  می‌نامند، در این حالت  برای یک مجموعه اندیس‌گذار  .
یادآوری۲-۴: هر میدان، یک مدول ساده روی خودش است.
قضیه۲-۵: اگر  یک  – مدول نیم‌ساده باشد به طوری که  ، که  ها ساده هستند، آنگاه اگر  یک دنباله دقیق  – مدولی باشد. آنگاه  وجود دارد به طوری که  و  .
اثبات: برای اثبات به ]۴، قضیه ۹٫۴[ مراجعه شود.
بنابر قضیه فوق اگر  یک مدول نیم‌ساده و  زیر مدولی از  باشد، آنگاه  و  .
قضیه۲-۶: فرض کنید  یک حلقه جابجایی و  یک  – مدول غیر صفر باشد. برای هر عنصر  از حلقه  فرض کنیم  یک درون‌ریختی مدول  باشد که به صورت  تعریف می‌شود. در این صورت  اول است اگر و تنها اگر به ازای هر  داشته باشیم  یا اینکه  یک تکریختی باشد.
اثبات: فرض کنید  اول باشد و  تکریختی نباشد یعنی  فرض کنیم  آنگاه داریم  درنتیجه  زیرا  مدول اول است. در نتیجه داریم  و لذا  .
بالعکس، فرض کنید  به سادگی دیده می‌شود که همواره  . حال فرض کنید  . آنگاه داریم  در نتیجه  از آنجایی که  ، پس  تکریختی نیست و در نتیجه بنابر فرض  . بنابراین  . درنتیجه داریم  ، و این به معنی اول بودن  می‌باشد.
به عبارت دیگر مدول غیر صفر  ، روی حلقه جابجایی  ، اول است اگر و تنها اگر برای هر  عضو حلقه  و به ازای هر  عضو  ، اگر داشته باشیم  آنگاه  یا  .
قضیه۲-۷: فرض کنید  یک حلقه جابجایی و  یک  – مدول غیر صفر باشد. برای هر عنصر  از حلقه  فرض کنیم  یک درون‌ریختی مدول  باشد که به صورت  تعریف می‌شود. در این صورت،  مدول  دوم است اگر و تنها اگر برای هر  داشته باشیم  یا  یک بروریختی باشد.
اثبات: فرض کنید  دوم باشد و  بروریختی نباشد، بنابراین  که  زیرمدولی محض از مدول  می‌باشد. لذا  ، بنابراین  . در نتیجه  .
بالعکس، فرض کنید  زیرمدولی محض از  باشد، اگر  آنگاه  و در نتیجه  بروریختی نیست. لذا بنا به فرض  در نتیجه  . لذا داریم
بنابراین  .
و در نتیجه  دوم است.
به عبارت دیگر، مدول غیر صفر  روی حلقه جابجایی  دوم است اگر و تنها اگر برای هر  عضو  ،  یا  .
قضیه۲-۸: اگر  یک حلقه و  یک  – مدول اول باشد، آنگاه  یک ایده‌آل اول  است.
اثبات: اگر برای بعضی ایده‌آل‌های  و  از حلقه  داشته باشیم  ، آنگاه  . اگر  ، آنگاه از اول بودن مدول  نتیجه می‌شود  . بنابراین از  نتیجه می‌شود
.

برای دانلود متن کامل پایان نامه به سایت  jemo.ir  مراجعه نمایید.