در نتیجه  .
حال بنابر لم۴-۱، .بنابراین – مدول  بخش‌پذیر است.
بالعکس، فرض کنید – مدول راست بخش‌پذیر باشد. از آنجایی که ایده‌آل اول حلقه است،  یک حلقه اول می‌باشد. حال بنابر نتیجه۴-۶، – مدول، دوم است. بنابراین طبق نتیجه۴-۴، – مدول دوم است.
قضیه۴-۱۰: فرض کنید  یک حلقه باشد به طوری که برای هر ایده‌آل اول  از  ،  یک حلقه کراندار راست و چپ و گولدی راست و چپ باشد. آنگاه یک  – مدول راست  یک مدول اول و دوم است اگر و تنها اگر یک ایده‌آل اول از  باشد و  یک – مدول راست بی‌تاب انژکتیو باشد.
اثبات: فرض کنید یک مدول اول و دوم باشد. آنگاه  یک  – مدول راست بی تاب است، زیرا فرض کنید و به طوری که، آنگاه. بنابراین از آنجایی که یک ایده‌آل از شامل عنصر منظم می‌باشد، بنابر قضیه گولدی می‌توان نتیجه گرفت ایده‌آل اساسی است. حال از آنجایی که حلقه کراندار است، ایده‌آل دوطرفه غیرصفر وجود دارد. فرض کنید، برای یک ایده‌آل از حلقه.، نتیجه می‌دهد. بنابراین اگر، از اول بودن نتیجه می‌شود. بنابراین و لذا ، و این یک تناقض است. بنابراین، بی‌تاب است. همچنین بنابر قضیه۴-۹،  یک  مدول بخش‌پذیر است. لذا بنابر]۱۶،قضیه ۳٫۳  انژکتیو است.
برای اثبات قسمت برگشت، فرض کنید  یک – مدول راست بی‌تاب انژکتیو باشد.
بنابر نتیجه۴-۷، یک – مدول دوم است. حال بنابر نتیجه ۴-۴، یک- مدول دوم است.
حال نشان می دهیم یک مدول اول نیز می باشد. برای این منظور فرض می کنید ، نشان می دهیم برای هرعضو غیر صفر.
فرض کنید و . همچنین داریم. پس می توان فرض کرد.
ایده آلی اول است. بنابراین یک حلقه اول می باشد لذا بنا بر لم ۲-۶۶ می توان نتیجه گرفت  ایده آل اساسی غیر صفر است. در نتیجه بنا بر قضیه گولدی،  شامل عنصر منظمی مانند می باشد.
از آنجایی که و ، نتیجه می گیریم وبنابراین.
حال از بی تاب بودن – مدول و نیز از آنجایی که عنصر منظم حلقه است لذا .
بنابراین برای هر زیر مدول غیر صفر از– مدول داریم. لذا . نتیجه می دهد اول است.
نتیجه۴-۱۱: فرض کنید  یک حلقه باشد به طوری که به ازای هر ایده‌آل اول  از  ،  یک حلقه کراندار راست و چپ و گولدی راست و چپ باشد . فرض کنید  یک – مدول دوم باشد به طوری که هر تصویر همریخت از  یک مدول یکدست باشد. آنگاه  نیم ساده است.
اثبات: فرض کنید  زیرمدول  باشد. بنابراین نقش همریخت مدول  تحت همریختی طبیعی است. لذا طبق فرض، یکدست است و بنابراین طبق۲-۴۴،  زیرمدول خالص از  است و بنابراین تمامی زیرمدول‌های  خالص هستند. حال فرض کنید . بنابر نتیجه۴-۳ می‌توان نتیجه گرفت که هر زیرمدول  ، – دوم است. بنابراین  و تمام زیرمدول‌های  اول هستند زیرا پوچ‌ساز تمام زیرمدول‌های غیر صفر برابر است. حال اگر  یک زیرمدول غیر صفر از  باشد، آنگاه  اول و دوم است. حال بنابر قضیه۴-۱۰،  یک  – مدول انژکتیو است، و بنابراین  به عنوان  – مدول، جمعوند مستقیم  است. در نتیجه  به عنوان– مدول، جمعوند مستقیم  است. در نتیجه  نیم ساده است.
نتیجه۴-۱۲: فرض کنید  یک حلقه منظم وان‌نیومن باشد به طوری که به ازای هر ایده‌آل اول  از  ،  یک حلقه کراندار راست و چپ و گولدی راست و چپ باشد. آنگاه هر – مدول دوم، یک مدول نیم ساده است.
اثبات: بنابر۲-۴۵ داریم حلقه  وان‌نیومن است اگر وتنها اگر هر – مدول راست، یکدست باشد. بنابراین هر – مدول، یکدست است. حال بنابر نتیجه۴-۱۱ اثبات کامل است.
نتیجه۴-۵ نشان می‌دهد که برای ایده‌آل اول  از حلقه ، هر حاصل‌جمع مستقیم از مدول‌های  – دوم، – دوم است. اما نمی‌توان گفت حاصل‌جمع مستقیم مدول‌های دوم، دوم است. مثلاً اگر و دو عدد اول متمایز در باشند، آنگاه- مدول‌های  و  ساده هستند در نتیجه دوم هستند، ولی  به‌وضوح مدول دوم نیست. ثابت نشده که آیا حاصل‌ضرب مستقیم مدول‌های – دوم ، – دوم است. ولی نتیجه زیر در ]۲۶، قضیه ۲٫۲[ برای حلقه‌های جابجایی ثابت شده است.
قضیه۴-۱۳: فرض کنید  یک حلقه باشد به طوری که به ازای هر عضو حلقه  ، ایده‌آلبه عنوان یک ایده‌آل چپ، متناهیاً تولید شده باشد. فرض کنید  یک ایده‌آل اول از  باشد و فرض کنید  یک گردایه از  – مدول‌های راست – دوم باشد. آنگاه  – مدول راست یک مدول – دوم است.
اثبات: فرض کنید، و توجه داشته باشید. حال فرض کنید یک ایده‌آل دلخواه از حلقه  باشد به طوری که، و فرض کنید.
آنگاه از آنجایی کهبه عنوان یک ایده‌آل چپ، متناهیاً تولید شده است، عدد مثبت  و عناصر   وجود دارند به طوری که . از آنجایی که ها مدول دوم هستند ویک ایده‌آل حلقه  است، بنابر لم۴-۱ داریم به ازای هر. حال فرض کنید ، به طوری که به ازای هر  ، . آنگاه برای هر، و بنابراین عناصر در وجود دارند به طوری که . در نتیجه داریم
.
بنابراین برای هر ایده‌آل از  که زیرمجموعه  نباشد. حال بنابر لم ۴-۱،  مدول دوم است و در این حالت به‌وضوح – دوم است.
فصل پنجم
تصویر همریختی‌ها
در این فصل ما به بررسی این امر می‌پردازیم که تحت کدام شرایط،– مدول غیر صفر دارای زیرمدول محض است که  یک مدول دوم است یا به طور معادل، کدام مدول ایده‌آل چسبیده دارد.
قضیه۵-۱: فرض کنید  یک حلقه نیم‌موضعی باشد. آنگاه هر – مدول باس، تعداد متناهی ایده‌آل‌ اول چسبیده دارد.
اثبات: فرض کنید، حلقه نیم موضعی است. در۲-۵۲ ثابت کردیم دارای تعداد متناهی ایده‌آل اولیه است. حال طبق ۲-۴۸ داریم هر ایده‌آل چسبیده یک مدول باس، اولیه است. بنابراین هر– مدول باس دارای تعداد متناهی ایده‌آل اول چسبیده است.
قضیه۵-۲: فرض کنید  یک حلقه و  یک  – مدول غیر صفر باشد به طوری‌که ایده‌آلی مانند  از  موجود باشد که این ایده‌آل در گردایه ایده‌آل‌های از  که ، ماکسیمال باشد. آنگاه  یک ایده‌آل اول چسبیده از  می باشد و یک مدول – دوم است. علاوه برآن، برابر اشتراک تمام زیرمدول‌های محض  از  است به طوری که  یک مدول – دوم است.
اثبات: ابتدا نشان می‌دهیم  ایده‌آل اول است. فرض کنید  و دو ایده‌آل از  باشند به طوری که زیر مجموعه  نباشند. آنگاه اگر و را در نظر بگیریم، و به طور محض شامل  می‌باشند. حال بنابر تعریف  داریم  و . در نتیجه ، و این به معنی این است که زیرمجموعه  نیست، و در نتیجه زیر مجموعه  نیست. لذا می‌توان گفت  ایده‌آل اول حلقه  است. برای اثبات دوم بودن مدول، فرض کنید ایده‌آلی از باشد به طوری که. بنابر ماکسیمال بودن در گردایه ایده‌آل‌های از به طوری که، داریم
.
به‌وضوح داریم و از طرفی بنابر تعریف  ، پوچ ساز  نمی‌تواند به طور محض شامل  باشد. لذا  یک مدول – دوم است. برای اثبات قسمت آخر این قضیه فرض کنید  زیرمدول  باشد که یک مدول – دوم است. بنابراین داریم. بنابراین برابر اشتراک تمام زیرمدول‌هایی مانند  است که ، – دوم است.
نتیجه۵-۳ : فرض کنید  یک حلقه و  یک  – مدول غیر صفر باشد. آنگاه گزاره های زیر معادلند:
 زیرمدول محض  از  وجود دارد به طوری که  یک مدول دوم است،
 زیرمدول محض از و ایده‌آل اول از وجود دارد به طوری که در گردایه ایده‌آل‌های از که ماکسیمال می باشد.
اثبات:  فرض کنید زیر مدول محض  از  وجود دارد به طوری که  یک مدول دوم است، قرار دهید . آنگاه یک ایده‌آل اول از  است و بنابراین . حال فرض کنید  ایده‌آلی از  باشد که به طور محض شامل  است.
از آنجایی که ، دوم است بنابر لم۴-۱ داریم. در نتیجه . بنابراین در گردایه ایده‌آل‌های از به طوری که ، ماکسیمال می باشد.
 فرض کنید زیرمدول محض از و ایده‌آل اول از وجود دارد به طوری که در گردایه ایده‌آل‌های از که ماکسیمال می باشد، قرار دهید. آنگاه  زیرمدول محض  است و داریم

برای دانلود متن کامل پایان نامه به سایت  ۴۰y.ir  مراجعه نمایید.