اثبات : فرض کنید ایده‌آلی از حلقه  باشد، به طوری که. بنابراین زیرمدولی محض از  است. همچنین  و از آنجایی که  دوم است لذا . در نتیجه .
اثبات‌های  و  واضح است.
: فرض کنید  زیرمدولی محض از – مدول  باشد، و. آنگاه به‌وضوح  و از طرفی، بنابراین طبق  داریم. بنابراین . لذا  یک – مدول دوم است.
حال به این موضوع می‌پردازیم که اگر زیر مدول و مدول خارج قسمت یک مدول دوم باشد، تحت چه شرایطی مدول اصلی، دوم است.
نتیجه۴-۲: فرض کنید  یک ایده‌آل اول از حلقه  ، و  یک زیرمدول از  – مدول  باشد به طوری که مدول‌های  و  هر دو – دوم باشند. آنگاه  یک مدول – دوم است اگر و تنها اگر .
اثبات: قسمت رفت واضح است. بالعکس، فرض کنید. حال فرض کنید ایده‌آلی دلخواه از حلقه باشد. اگر، آنگاه. فرض کنید. بنا بر لم ۴-۱، و.
بنابراین
.
حال بنابر لم۴-۱،  دوم است.
در قضیه زیر مشاهده می‌کنیم که در شرایط خاص، زیرمدول یک مدول دوم، دوم است.
نتیجه۴-۳: فرض کنید  یک حلقه و برای یک ایده‌آل اول  از ،  یک  – مدول  – دوم باشد. آنگاه هر زیرمدول خالص غیر صفر از  یک مدول – دوم است.
اثبات: فرض کنید  یک زیرمدول خالص غیرصفر از  باشد. از آنجایی که ، داریم. حال اگر ایده‌آل حلقه  باشد که. آنگاه  بنابراین . حال بنابر لم ۴-۱،  مدول – دوم است.
نتیجه۴-۴: فرض کنید یک ایده‌آل از حلقه  و  یک  – مدول باشد به طوری که . آنگاه – مدول  یک مدول دوم است اگر و تنها اگر– مدول  یک مدول دوم باشد.
اثبات: فرض کنید – مدول  دوم است. آنگاه. از آنجایی که، میتوان  را به عنوان یک – مدول در نظر گرفت. فرض کنید  یک ایده‌آل از حلقه  باشد به طوری که . آنگاه . بنابر دوم بودن- مدول و لم۴-۱،  یا. در نتیجه  یا. حال بنابر لم ۴-۱،  یک – مدول دوم است.
بالعکس، فرض کنید  یک– مدول دوم باشد. آنگاه ، و همچنین. فرض کنید یک ایده‌آل از حلقه  باشد. آنگاه . از آنجایی که  یک– مدول دوم است، بنابراین  یا . درنتیجه یا. حال بنابر لم۴-۱،  یک – مدول دوم است.
نتیجه بعدی برای حلقه‌های جابجایی در]۲۶، قضیه ۲٫۲[ ثابت شده است.
نتیجه۴-۵: فرض کنید  یک ایده‌آل اول از حلقه  باشد. آنگاه:
حاصل‌جمع مستقیم هر گردایه از  – مدول‌های راست – دوم، یک مدول – دوم است،
جمع هر گردایه ناتهی از زیرمدول‌های – دوم از یک  – مدول راست، یک زیرمدول – دوم از است.
اثبات: فرض کنید  یک گردایه ناتهی از – مدول‌های راست – دوم باشد، و. آنگاه داریم. حال فرض کنید ایده‌آلی از حلقه  باشد، به طوری که  آنگاه بنا بر لم۴-۱،  به ازای هر. بنابراین . در نتیجه  یک مدول – دوم است.
اثبات: فرض کنید  یک گردایه ناتهی از زیرمدول‌های – دوم از باشد. همریختی  را با ضابطه تعریف می‌کنیم. به سادگی دیده می‌شود  پوشاست پس نقش همریخت مدولاست. حال طبق قسمت و این موضوع که نقش همریخت هر مدول دوم، خود مدول دوم است این نتیجه به اثبات می‌رسد.
حال به بررسی مدول‌های دوم روی حلقه‌های کراندار و گولدی می‌پردازیم.
نتیجه۴-۶: فرض کنید  یک حلقه اول گولدی راست (یا چپ) باشد. آنگاه هر  – مدول راست بخش‌پذیر غیر صفر، یک مدول دوم است.
اثبات: فرض کنید یک – مدول راست بخش‌پذیر باشد و. اگر، چون حلقه اول است، بنابر لم ۲-۶۶ ایده‌آل زیرمدولی اساسی از است. حال بنابر قضیه ۲-۴۱ (قضیه گولدی)، شامل یک عنصر منظم از حلقه مانند می‌باشد. از بخش‌پذیر بودن می‌توان نتیجه گرفت ، که این یک تناقض است. بنابراین. حال فرض کنید ایده‌آلی غیر صفر از باشد، بنابراین. از طرفی مانند فوق می‌توان گفت که شامل عنصر منظمی از حلقه مانند می‌باشد. بنابراین . در نتیجه. حال بنابر لم۴-۱،  یک مدول دوم است.
نتیجه۴-۷: فرض کنید  یک حلقه اول گولدی راست یا چپ باشد. آنگاه هر  – مدول راست انژکتیو غیر صفر، یک مدول دوم است.
اثبات: هر مدول انژکتیو، بخش‌پذیر است. حال بنابر نتیجه۴-۶، این نتیجه اثبات می‌شود.
نتیجه۴-۸: فرض کنید  یک ایده‌آل اول از یک حلقه  باشد به طوری که  یک حلقه گولدی راست یا چپ باشد، و فرض کنید یک  – مدول راست انژکتیو غیر صفر باشد. آنگاه شامل یک زیرمدول – دوم است اگر و تنها اگر برای بعضیهای غیر صفر در.
اثبات:قسمت رفت واضح است. بالعکس، فرض کنید برای بعضی های غیر صفر از مدول. فرض کنید. آنگاه به‌وضوح یک زیرمدول است و. آنگاه یک – مدول انژکتیو است. زیرا فرض کنید نمودار زیر از – مدول‌ها و همریختی‌های مدولی را داشته باشیم
 
از آنجایی که هر – مدول، یک- مدول نیز هست. بنابراین می‌توانیم نمودار زیر را تشکیل دهیم
 
حال از آنجایی که یک– مدول انژکتیو است، می‌توان همریختی  یافت به طوری‌که نمودار فوق جابجایی شود. از طرفی یک – مدول است در نتیجه داریم
 پس  بنابراین  در نتیجه .
بنابراین همریختی را می‌توان از به در نظر گرفت.
لذا یک – مدول انژکتیو است، حال بنابر نتیجه ۴-۷، یک – مدول دوم است، و بنابر نتیجه ۴-۴، یک – مدول دوم است.
حال نشان می دهیم یک مدول– دوم است. طبق تعریف داریم، بنابراین. از طرفی از آنجایی که به عنوان – مدول، انژکتیو است، لذا بخش‌پذیر است. حال از آنجایی که ایده‌آل اول است لذا  حلقه اول است. همچنین بنابرفرض،  گولدی راست یا چپ است. حال مشابه اثبات نتیجه۴-۶، می‌توان گفت. در نتیجه می‌توان گفت. در نتیجه یک مدول- دوم است. 
قضیه۴-۹: فرض کنید  یک حلقه باشد به طوری که به ازای هر ایده‌آل اول  از  ،  یک حلقه کراندار چپ و گولدی چپ باشد. آنگاه  – مدول راست  دوم است اگر و تنها اگر  یک ایده‌آل اول از  و  یک – مدول راست بخش‌پذیر باشد.
اثبات: فرض کنید  یک مدول دوم باشد. اگر ، آنگاه ایده‌آل اول از  است. فرض کنید حلقه اول وگولدی چپ و کراندار چپ باشد. فرض کنید یک عنصر منظم از حلقه  باشد.از آنجایی که یک حلقه اول و گولدی چپ است پس یک ایده‌آل اساسی است. حال از آنجایی که یک حلقه کراندار چپ است، ایده‌آل غیر صفر از وجود دارد به طوری که مشمول در ایده‌آل چپ اساسی از حلقهاست. حال  برای بعضی ایده‌آل از  که به طور محض شامل است. بنابراین

برای دانلود متن کامل این پایان نامه به سایت  fumi.ir  مراجعه نمایید.