در ]۹، ۵٫۲[ ثابت شده است که  دارای بعد پوک  است، برای یک عدد صحیح مثبت ، اگر و تنها اگر مدول‌های پوک  و بروریختی وجود داشته باشد، به طوری که هسته  در  کوچک باشد. همچنین اگر، آنگاه بعد دوگان گولدی مدول با بعد دوگان گولدی مدول  برابر است. همچنین اگر ، بعد دوگان گولدی برابر جمع بعد دوگان گولدی و بعد دوگان گولدی است.
قضیه۲-۶۳: فرض کنید  یک حلقه و  یک – مدول آرتینی باشد، آنگاه  دارای بعد دوگان گولدی متناهی است.
اثبات: فرض کنید  یک – مدول آرتینی باشد که دارای بعد دوگان گولدی متناهی نباشد. بنابراین می‌توان گردایه ای نامتناهی از زیرمدول‌های هم- مستقل را در نظر گرفت. فرض کنید یک زیرمجموعه نامتناهی از  باشد. از آرتینی بودن  می‌توان نتیجه گرفت زنجیر  متوقف می‌شود. فرض کنید عدد صحیح مثبتی باشد که داشته باشیم . در نتیجه. بنابراین . که تناقض است.
تعریف۲-۶۴: یک خانواده از زیرمدول‌های  را معکوس گویند هرگاه به ازای هر وجود داشته باشد به طوری که.
تعریف۲-۶۵: گوییم مدول ، در شرط  صدق میکند(مدول  را – مدول گوییم) هرگاه برای هر زیرمدول  از  و خانواده معکوس  از زیرمدول‌های ، داشته باشیم
.
به عنوان مثال،– مدول در شرط  صدق نمی‌کند. زیرا اگر خانواده  از زیرمدول‌های  را در نظر بگیریم، آنگاه این خانواده، معکوس است. داریم ، اما . ولی بنابر ]۲۲، مثال ۶٫۲۴[، هر مدول آرتینی در شرط  صدق می‌کند. همچنین هر زیرمدول و هر تصویرهمریختی مدول، یک مدول  است.
لم۲-۶۶: فرض کنید یک حلقه اول باشد. در این صورت هر ایده‌آل غیر صفر از یک زیرمدول اساسی است.
اثبات: فرض کنید یک ایده‌آل غیر صفر حلقه باشد. در این صورت برای هر ایده‌آل راست از، اگر، آنگاه. حال از آنجایی که حلقه اول است، ایده‌آل اول است و در نتیجه. بنابراین یک زیرمدول اساسی می‌باشد.
فصل سوم
مدول‌های نیم‌ساده و مدول‌های دوم
در فصل دوم دیدیم که مدول‌های نیم‌ساده همگن، دوم هستند. در این فصل به بررسی شرایطی می‌پردازیم که عکس این گزاره برقرار باشد. یعنی مدول‌های دوم، نیم‌ساده همگن باشند.
لم۳-۱: فرض کنید  یک حلقه باشد به طوری که هر ایده‌آل اول آن ماکسیمال است. آنگاه یک  – مدول راست  اول است اگر و تنها اگر دوم باشد. علاوه بر آن، اگر  یک حلقه جابجایی باشد آنگاه مدول  دوم است اگر و تنها اگر  یک مدول نیم ساده همگن باشد.
اثبات:  ابتدا فرض کنید  اول است. آنگاه و ایده‌آل اول حلقه می‌باشد، لذا بنابر فرض، ایده‌آل ماکسیمال است. فرض کنید  یک زیرمدول محض دلخواه از  باشد، آنگاه داریم و در نتیجه . اما ماکسیمال بودن ایده‌آل نتیجه می‌دهد که و در نتیجه  یک مدول دوم است.
 حال فرض کنید  یک مدول دوم است. آنگاه یک ایده‌آل اول و در نتیجه یک ایده‌آل ماکسیمال در  است. اگر  زیرمدولی غیر صفر از  باشد، داریم  و درنتیجه . از آنجایی که  ماکسیمال است، . بنابراین  یک مدول اول است.
حال برای اثبات قسمت آخر فرض کنید  یک حلقه جابجایی باشد و  یک  – مدول دوم باشد. آنگاه  یک ایده‌آل اول حلقه  و در نتیجه ماکسیمال است. داریم و لذا  یک – مدول است. از آنجایی که  میدان است،  یک فضای برداری روی  می‌باشد.
در نتیجه  برای یک مجموعه اندیس گذار. در نتیجه  نیم ساده همگن است. عکس این گزاره را در فصل دوم اثبات کرده ایم.
حال سوال این است که تحت چه شرایطی مدول دوم، نیم‌ساده همگن است.
نتیجه۳-۲: فرض کنید  یک حلقه منظم وان‌نیومن جابجایی باشد. آنگاه یک  – مدول راست غیر صفر  یک مدول دوم است اگر و تنها اگر  یک مدول نیم ساده همگن باشد.
اثبات: بنابر۲-۲۲ در حلقه منظم وان‌نیومن جابجایی هر ایده آل اول، ماکسیمال است. حال با توجه به لم قبلی، نتیجه برقرار است.
لم۳-۳: فرض کنید  یک حلقه باشد به طوری که برای هر ایده‌آل اولیه راست ، حلقه  آرتینی راست باشد. آنگاه گزاره های زیر برای یک  – مدول راست  معادلند:
 یک مدول اول است که شامل یک زیرمدول ساده است،
 یک مدول دوم است که شامل یک زیرمدول ماکسیمال است،
 یک مدول نیم ساده همگن است.
اثبات:: فرض کنید  یک زیرمدول ساده از مدول اول  باشد. اگر، آنگاه  ایده‌آل اولیه راست از  است، و بنابراین ،یک حلقه اولیه راست و آرتینی راست است. حال از آنجایی که  اول است داریم  و در نتیجه ، پس یک – مدول می‌باشد. از آنجایی که  یک حلقه آرتینی راست و اولیه راست است، بنابر]۱۴، قضیه ۱۱٫۷[، هر حلقه اولیه آرتینی، نیم‌ساده است. بنابراین  یک حلقه نیم‌ساده می‌باشد. بنابر ]۴[ می‌دانیم هر مدول روی یک حلقه نیم‌ساده، نیم‌ساده است. بنابراین یک – مدول نیم‌ساده است. ضمناً  حلقه‌ای ساده می‌باشد، و لذا دقیقاً یک – مدول ساده موجود است.
لذا یک – مدول نیم‌ساده همگن است، و در نتیجه  نیم‌ساده همگن است.
: فرض کنید زیرمدول ماکسیمال از مدول دومباشد. اگر، آنگاه از آنجایی که ساده است، ایده‌آل اولیه از است. حال بنابر دوم بودن مدول و تکرار روند فوق، قضیه اثبات می‌شود.
و : قبلاً ثابت کردیم هر مدول نیم ساده همگن، اول و دوم است. بوضوح هر مدول نیم ساده همگن شامل زیرمدول ماکسیمال و زیرمدول ساده می‌باشد.
نتیجه۳-۴: فرض کنید  یک حلقه کامل راست باشد. آنگاه یک  – مدول راست  یک مدول دوم است اگر و تنها اگر  یک مدول نیم‌ساده همگن باشد.
اثبات: قسمت برگشت واضح است. برای اثبات قسمت رفت، فرض کنید  یک مدول دوم باشد. آنگاه  غیر صفر است و بنابر قضیه باس  دارای زیرمدول ماکسیمال است. از طرفی دوباره بنابر قضیه باس در حلقه کامل راست،  نیم‌ساده می‌شود. همچنین برابر اشتراک تمام ایده‌آل های اولیه است و بنابراین به ازای هر ایده‌آل اولیه  داریم، و در نتیجه  . حال از آنجایی که نیم‌ساده است و هر خارج قسمت یک مدول نیم ساده، نیم‌ساده است. بنابرایننیز نیم ‌ساده است. در نتیجه آرتینی راست است. حال بنابر لم قبل،  نیم‌ساده همگن است.
فصل چهارم
مدول‌های دوم و حلقه‌ گولدی
در این فصل، ما به بررسی معادل‌هایی برای مدول‌های دوم می‌پردازیم. توجه کنید در این فصل،  یک حلقه و  یک – مدول راست است.
لم۴-۱ : فرض کنید  یک حلقه دلخواه باشد. برای یک  – مدول غیر صفر  گزاره‌های زیر معادلند:
یک مدول دوم است،
 برای هر ایده‌آل از داریم  یا  ،
برای هر ایده‌آل  از  که زیر مجموعه  نباشد، ،
 برای هر ایده‌آل  از که به طور محض شامل  است، .

برای دانلود متن کامل پایان نامه به سایت  ۴۰y.ir  مراجعه نمایید.