از ماکسیمال بودن  می‌توان نتیجه گرفت  ساده است و بنابراین  ایده‌آل اولیه راست است.
تعریف۲-۴۹: حلقه را نیم‌موضعی گویند هرگاه نیم ساده باشد.
قضیه۲-۵۰: ایده‌آل‌های چسبیده– مدول راست، دقیقاً برابر ایده‌آل‌های اولیه راست می‌باشند.
اثبات: داشتیم هر ایده‌آل چسبیده یک مدول باس، اولیه است. از آنجایی که– مدول راست، متناهیاً تولید شده است لذا هر ایده‌آل راست محض مشمول در یک ایده‌آل راست ماکسیمال می‌شود. در نتیجه به عنوان – مدول، یک مدول باس است. حال اگر یک ایده‌آل اولیه حلقه باشد، آنگاه یک- مدول ساده وجود دارد به طوری که. حال از ساده بودن می‌توان نتیجه گرفت  که ایده‌آل راست ماکسیمال حلقه است. بنابراین. از طرفی ساده است و در نتیجه دوم است. بنابراین ایده‌ال چسبیده است.
قضیه ۲-۵۱(قضیه ودربرن-آرتین): حلقه، نیم‌ساده است اگر و تنها اگر یکریخت با حاصل‌جمع مستقیم تعداد متناهی حلقه آرتینی ساده باشد.
اثبات: برای مشاهده اثبات به]۴، قضیه ۱۳٫۶مراجعه شود.
قضیه۲-۵۲: اگر  یک حلقه نیم‌موضعی باشد آنگاه  فقط تعداد متناهی ایده آل اولیه راست دارد.
اثبات: ابتدا ثابت می کنیم که اگر  و دو حلقه و . در این صورت ایده‌آلی از حلقه است اگروتنها اگر ایده‌آل‌های از حلقه و  از حلقه موجود باشند به طوری که .
برای اثبات ابتدا فرض کنید ایده‌آلی از حلقه باشد. تعریف می‌کنیم:
 
ادعا می‌کنیم که  ایده‌آلی از حلقه  است. برای اثبات، فرض می‌کنیم  و  ، پس با توجه به تعریف  داریم  و  . حال چون  ایده‌آلی از حلقه‌ی  است، بنابراین
 
و
که این نتیجه می‌دهد  و  .
به طریق مشابه اگر تعریف کنیم:
 
در این صورت  نیز ایده‌آلی از حلقه  می‌شود. حال ثابت می‌کنیم که  .
واضح است که  ، زیرا اگر  ، آنگاه  و  . در نتیجه  و  ، پس داریم  . حال فرض می‌کنیم  . پس  و  و با توجه به تعاریف  و  داریم  که این هم نتیجه می‌دهد  .
اثبات قسمت برگشت بدیهی است. حال فرض کنید یک حلقه نیم‌موضعی باشد، بنابراین یک حلقه نیم ساده می‌باشد. حال بنابر قضیه ودربرن- آرتین یکریخت با حاصل‌جمع مستقیم تعداد متناهی حلقه آرتینی ساده است. لذا بنابر لم قبل  تعداد متناهی ایده‌آل دارد. از طرفی رادیکال جیکوبسن برابر با اشتراک تمام ایده‌آل‌های اولیه راست است. بنابراین اگر ایده‌آل راست اولیه حلقه  باشد، داریم  .
بنابراین  ایده‌آل حلقه  است. از آنجایی که  تعداد متناهی ایده‌آل دارد، بنابراین  تعداد متناهی ایده‌آل اولیه راست دارد.
تعریف۲-۵۳: فرض کنید  یک حلقه و  زیرمجموعه  باشد. آنگاه  را– پوچ‌توان راست گویند هرگاه برای هر دنباله  از عناصر ، عدد صحیح مثبتی مانند  وجود داشته باشد به طوری که.
بوضوح هر مجموعه پوچ توان،– پوچ‌توان است.
لم۲-۵۴: فرض کنید  یک حلقه و  ایده‌آل راست آن باشد، آنگاه گزاره‌های زیر معادلند:
ایده‌آل  – پوچ‌توان راست است.
برای هر  – مدول راست غیر صفر  داریم  .
اثبات: برای مشاهده اثبات به ]۴، لم ۲۸٫۳[ مراجعه کنید.
تعریف۲-۵۵: فرض کنید  زیرمدولی از – مدول  باشد. منظور از مکمل  در ، زیرمدولی از  مانند  است که  در گردایه زیرمدول‌های  از  که در شرط  صدق می‌کنند، مینیمال است.
تعریف۲-۵۶: زیرمدول از  را مکمل در  گویند هرگاه زیرمدولی مانند از  وجود داشته باشد به طوری که مکمل در  ‌باشد.
لم۲-۵۷: فرض کنید یک– مدول و و دو زیرمدول باشند، به طوری که مکمل در باشد. آنگاه  و درنتیجه.
اثبات: فرض کنید زیرمدولی ازباشد به طوری که. آنگاه . حال از آنجایی که مکمل است، داریم . پس.  
تعریف۲-۵۸: مدول مکمل شده، مدولی است که هر زیرمدول آن مکمل داشته باشد.
تعریف۲-۵۹: مدول را مکمل شده قوی می‌نامند هرگاه برای هر دو زیرمدول  و  از  که،  شامل یک مکمل برای  در  باشد.
مدول‌های آرتینی، مکمل شده قوی هستند. زیرا اگر یک مدول آرتینی و و زیرمدول‌های آن باشند، به طوری که آنگاه فرض کنید برابر گردایه تمام زیر مدول‌های از باشد به طوری که. از آنجایی که مدول، آرتینی است. بنابراین این گردایه عضو مینیمالی مانند دارد. به‌وضوح  مکملی برای درمی‌باشد.
تعریف۲-۶۰: فرض کنید  یک حلقه باشد، بنابر ]۹، صفحه ۸[، یک خانواده غیر تهی  از زیرمدول‌های – مدول  را هم- مستقل گویند هرگاه برای هر و زیر مجموعه متناهی از ، داشته باشیم
 
تعریف۲-۶۱: – مدول  را پوک گویند هرگاه و  برابر جمع هیچ دو زیرمدول محض از خود نباشد. به عبارت دیگر  پوک است اگر و تنها اگر هر زیرمدول غیر صفر  در  کوچک باشد.
تعریف۲-۶۲: بنابر ]۹، صفحه ۴۷[ می‌توان گفت مدول غیر صفر  دارای بُعد دوگان گولدی متناهی است اگر  شامل خانواده نامتناهی از زیرمدول‌های هم‌‌- مستقل نباشد، و در این حالت عدد صحیح مثبت  وجود دارد، که به آن بُعد پوک یا بعد دوگان گولدی  گویند، به طوری که ، برابر سوپریمم اعداد صحیح مثبتی مانند  است که  به تعداد  زیرمدول هم- مستقل دارد.

برای دانلود متن کامل پایان نامه به سایت  fotka.ir  مراجعه نمایید.