اگر در حلقه، ایده‌آل  اولیه باشد، آنگاه حلقه را حلقه اولیه گویند.
تعریف۲-۲۴: زیرمدول از– مدول غیر صفر را اساسی گویند، و آن را با نماد نشان می‌دهیم، هرگاه برای هر زیر مدول از از، نتیجه شود.
تعریف۲-۲۵: زیرمدول  از – مدول غیر صفر  را در  کوچک یا زائد گویند، و آن را با نماد نشان می‌دهیم، هرگاه به ازای هر زیرمدول محض  از  داشته باشیم.
تعریف۲-۲۶: اگر و دو– مدول باشند ویک همریختی- مدولی باشد، دوتایی  را یک پوشش پروژکتیو برای می‌نامند هرگاه مدولی پروژکتیو و یک بروریختی باشد به طوری که باشد.
تعریف۲-۲۷: حلقه را کامل راست گویند اگر هر– مدول راست، یک پوشش پروژکتیو داشته باشد.
تعریف۲-۲۸ : فرض کنید یک حلقه باشد. رادیکال جیکوبسن را که با نشان داده می‌شود برابر است با اشتراک تمام ایده‌آل‌های راست ماکسیمال.
یادآوری۲-۲۹: فرض کنید یک حلقه باشد، آنگاه برابر با اشتراک تمام ایده‌آل‌های اولیه راست است.
قضیه ۲-۳۰ (قضیه باس): فرض کنید یک حلقه و، رادیکال جیکوبسن باشد، آنگاه گزاره‌های زیر معادلند:
  یک حلقه کامل راست است،
 ، نیم‌ساده است و هر- مدول راست غیر صفر، شامل یک زیرمدول ماکسیمال است.
برای مشاهده صورت کامل این قضیه و اثبات آن می‌توانید به ]۴، قضیه ۲۸٫۴[ مراجعه کنید.
تعریف۲-۳۱: زیرمدول  از یک – مدول راست  را زیرمدول خالص  گویند هرگاه برای هر ایده‌آل چپ  از  ، داشته باشیم  .
تعریف۲-۳۲: فرض کنید یک حلقه باشد. را منظم راست گویند هرگاه برای هر عضو غیر صفر از حلقه  مانند ، .
به طور مشابه عضو منظم چپ نیز تعریف می‌شود.  را منظم گویند هرگاه منظم چپ و منظم راست باشد.
تعریف۲-۳۳: – مدول راست را بخش‌پذیر گویند هرگاه به ازای هر عضو منظم از حلقه . در[۲۳] تعریف‌های دیگری از بخش‌پذیری آمده است.
تعریف۲-۳۴: مدول غیر صفر را یکنواخت گویند هرگاه هر زیر مدول غیر صفر، زیر مدولی اساسی باشد.
تعریف۲-۳۵: گوییم مدول دارای بعد یکنواخت یا بعد گولدی می‌باشد، اگر زیرمدول اساسی از وجود داشته باشد که، و در آنها زیرمدول یکنواخت از هستند. اگر چنین عدد صحیحی موجود نباشد گوییم دارای بعد یکنواخت نامتناهی است.
تعریف۲-۳۶: حلقهرا گولدی راست گویند اگر دارای بعد یکنواخت متناهی باشد و در شرط زنجیر افزایشی روی ایده‌آل‌های پوچ‌ساز راست صدق کند. (به طور مشابه گولدی چپ تعریف می شود).
تعریف۲-۳۷: حلقه را یک حلقه اول گویند، هرگاه ایده‌آل یک ایده‌آل اول در حلقه باشد.
تعریف۲-۳۸: یک حلقه اول را کراندار راست گویند اگر هر ایده‌آل راست اساسی شامل یک ایده‌آل دو طرفه غیر صفر باشد. به طور مشابه، حلقه کراندار چپ نیز تعریف می‌شود.
تعریف۲-۳۹: حلقه  را نیم اول گویند، هرگاه برای هر ایده‌آل  از ،  نتیجه دهد.
تعریف۲-۴۰: – مدول راست  را بی‌تاب گویند هرگاه  برای هر عضو غیر صفر  از مدول  و عنصر منظم .
قضیه۲-۴۱(قضیه گولدی): برای هر حلقه  ، گزاره‌های زیر معادلند:
، نیم‌اول و گولدی راست است،
یک ایده‌آل راست  ، یک زیرمدول اساسی از  است اگر و تنها اگر شامل یک عنصر منظم باشد.
برای مشاهده صورت کامل قضیه و اثبات آن به ]۱۳، قضیه ۱۱٫۱۳[ مراجعه کنید.
لم۲-۴۲: هر مدول انژکتیو، بخش‌پذیر است.
برای اثبات به ]۱۳، بخش سوم[ مراجعه شود.
تعریف۲-۴۳: یک  – مدول راست  را یکدست گویند اگر به ازای هر دنباله دقیق  از  – مدول‌های چپ، دنباله  دقیق باشد.
قضیه۲-۴۴: اگر  یک  – مدول راست یکدست و  زیر مدول  باشد، آنگاه  یکدست است اگر و تنها اگر  زیرمدول خالص از  باشد.
اثبات: به ]۴، صفحه ۲۳۲[ مراجعه شود.
قضیه۲-۴۵: یک حلقه، وان نیومن منظم است اگر و تنها اگر هر مدول راست روی آن، یکدست باشد.
اثبات: به ]۴، صفحه ۲۳۳مراجعه شود.
تعریف۲-۴۶: فرض کنید یک– مدول باشد. ایده‌آل اول  از  را ایده‌آل چسبیده  گویند هرگاه زیرمدول محض  از  موجود باشد به طوری که یک مدول – دوم باشد.
تعریف۲-۴۷: مدول غیر صفر  را مدول باس گویند هرگاه هر زیرمدول محض آن مشمول در یک زیرمدول ماکسیمال باشد.
بنابر قضیه باس می‌توان گفت روی یک حلقه کامل راست هر مدول غیر صفر، مدول باس است.
لم۲-۴۸: هر ایده‌آل چسبیده یک مدول باس، اولیه است.
اثبات: اگر  یک ایده‌آل چسبیده مدول باس  باشد، آنگاه زیرمدول محض  از  وجود دارد به طوری که، – دوم است. حال از آنجایی که ، مدول باس است، زیرمدول ماکسیمال از  مانند  وجود دارد به طوری که . از آنجایی که ، – دوم است داریم

دانلود متن کامل این پایان نامه در سایت abisho.ir