لذا داریم  و در نتیجه  . اگر  ، آنگاه  . بنابراین قضیه اثبات می‌شود.
قضیه۲-۹: اگر  یک حلقه و  یک  – مدول دوم باشد، آنگاه  یک ایده‌آل اول  است.
اثبات: اگر برای بعضی ایده‌آل‌های  و  از حلقه  داشته باشیم  ، آنگاه  . اگر  ، آنگاه از دوم بودن مدول  نتیجه می‌شود  .
بنابراین از  ، نتیجه می‌شود  . در نتیجه  . حال اگر  ، آنگاه  . در نتیجه  .
فرض کنید  یک  مدول دوم و  . در این صورت  را یک مدول  – دوم گویند.
قضیه۲-۱۰: هر مدول ساده، اول و دوم است.
اثبات: فرض کنید  یک  – مدول ساده باشد. بنابراین تنها زیرمدول غیر صفر آن  می‌باشد. بنابراین  اول است. از طرفی تنها زیرمدول محض  زیرمدول صفر می‌باشد، بنابراین به‌وضوح داریم  . در نتیجه  دوم است.
تعریف۲-۱۱: مدول  را نیم‌ساده گویند هرگاه  برابر حاصل‌جمع زیرمدول‌های ساده خود باشد. در این صورت خانواده  از زیرمدول‌های ساده  موجود است. به قسمی که  .
تعریف۲-۱۲: فرض کنید  یک حلقه باشد. در این صورت  را یک حلقه نیم‌ساده گویند اگر  به عنوان  – مدول راست (به طور معادل چپ)، یک مدول نیم‌ساده باشد.
یادآوری می‌کنیم مدول  را نیم ساده همگن می نامیم، در صورتی که  برابر حاصل‌جمع مستقیم زیرمدول‌های ساده یکریخت باشد.
قضیه۲-۱۳: هر مدول نیم ساده همگن، اول و دوم است.
اثبات: فرض کنید  یک  – مدول نیم‌ساده همگن باشد. بنابراین می‌توان فرض کرد  ، برای یک مجموعه اندیس‌گذار  و زیرمدول‌های ساده یکریخت  از  . حال اگر  ، زیرمدول غیر صفری از  باشد بنابر قضیه ۲-۵ داریم  ، برای یک مجموعه اندیس‌گذار  . حال اگر  و  ، از آنجایی که تمامی  ها یکریخت هستند داریم
،
بنابراین  اول است.
حال اگر  ، زیرمدولی محض از  باشد. داریم  ، برای یک مجموعه اندیس گذار  . با تکرار روند فوق می‌توانیم نتیجه بگیریم  لذا  دوم است.
حلقه  را یک حلقه ساده گویند، هرگاه ایده‌آل دوطرفه غیر بدیهی نداشته باشد.
قضیه۲-۱۴: اگر  یک حلقه ساده باشد، آنگاه هر مدول غیر صفر روی  ، اول و دوم است.
اثبات: فرض کنید  یک  – مدول راست و  زیرمدول غیر صفر از  باشد. از آنجایی که  یکدار است داریم  ، و همچنین  . از طرفی  ساده است و پوچ‌سازها ایده‌آل  هستند، بنابراین  . در نتیجه  اول است.
حال اگر  زیرمدول محض  باشد،  یک مدول غیر صفر می‌باشد. حال مشابه روند اثبات فوق می‌توان نتیجه گرفت  . بنابراین  دوم است.
قضیه۲-۱۵: فرض کنید  یک حلقه باشد. اگر  به عنوان  – مدول راست، مدولی دوم باشد آنگاه  یک حلقه ساده است.
اثبات: فرض کنید  ، ایده‌آل محض  باشد. به‌وضوح  ، از طرفی از آنجایی که حلقه یکدار است می‌توان نتیجه گرفت  . حال از دوم بودن  – مدول  داریم  ، بنابراین  . در نتیجه  . پس  به عنوان  – مدول، ساده است.
قضیه۲-۱۶: هر زیرمدول غیر صفر از یک مدول اول، اول است.
اثبات: فرض کنید  یک  – مدول اول و  زیرمدول غیر صفر از  باشد. حال اگر  زیرمدول غیر صفر  باشد،  زیرمدول  نیز است. بنابر اول بودن  داریم  . لذا  اول است.
قضیه۲-۱۷: هر تصویر همریخت غیر صفر از یک مدول دوم، دوم است.
اثبات: فرض کنید  ، یک  – مدول دوم باشد. آنگاه هر تصویر همریخت غیر صفر  به ازای یک زیرمدول محض  از  ، با  یکریخت است. حال اگر  ، زیرمدولی از  شامل  باشد، بنابر دوم بودن مدول  داریم
.
بنابراین  . در نتیجه مدول  ، دوم است.
یادآوری۲-۱۸: هر زیرمدول انژکتیو از یک مدول، جمعوند مستقیم مدول اصلی می‌شود.
یادآوری۲-۱۹: اگر  یک  – مدول ساده باشد، آنگاه برای بعضی ایده‌آل‌های ماکسیمال راست  از  ،  .
یادآوری۲-۲۰: فرض کنید  ، یک  – مدول و  ،  و  زیرمدول‌های  باشند، در این صورت داریم
،
علاوه بر آن اگر  ، آنگاه تساوی برقرار است و رابطه فوق به صورت زیر خواهد شد.
 
این گزاره به قانون مدولار معروف است.
تعریف۲-۲۱: حلقه ، یک حلقه منظم وان‌نیومن است هرگاه برای هر، وجود داشته باشد به طوری‌که .
قضیه۲-۲۲: در حلقه منظم وان‌نیومن جابجایی هر ایده‌آل اول، ماکسیمال است.
اثبات: فرض کنید یک حلقه منظم وان‌نیومن جابجایی و  ایده‌آل اول حلقه  باشد، آنگاه حلقه  یک دامنه صحیح و همچنین منظم وان‌نیومن جابجایی است. حال اگر ، آنگاه وجود دارد ، به طوری که  . در نتیجه. از آنجایی که یک دامنه صحیح و  است، داریم ، در نتیجه . بنابراین هر عضو غیر صفر، وارون پذیر است. لذا میدان است و بنابراین  ایده‌آل ماکسیمال حلقه است.
تعریف۲-۲۳: ایده‌آل  از حلقه  را اولیه راست گویند هرگاه یک – مدول راست ساده  موجود باشد به طوری‌که.

برای دانلود متن کامل این پایان نامه به سایت  fumi.ir  مراجعه نمایید.